Решите уравнение 1+cosx=ctgx/2

$\displaystyle 1+\cos x=ctg \frac{x}{2} \\ \\ 2\cos^2\frac{x}{2} =ctg\frac{x}{2} \\ \\ \cos\frac{x}{2} \bigg(2\cos\frac{x}{2} - \frac{1}{\sin\frac{x}{2} }\bigg)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю
$\cos \frac{x}{2} =0;\\ \\ \frac{x}{2} =\frac{\pi}{2} + \pi n,n \in\mathbb{Z}~~|\cdot2\\ \\ \boxed{x_1= \pi +2 \pi n,n\in\mathbb{Z} }$

$2\cos\frac{x}{2} - \frac{1}{\sin\frac{x}{2} }=0$
Умножим обе части уравнения на sin(x/2)≠0, получим
$2\cos\frac{x}{2} \sin\frac{x}{2} -1=0\\ \\ \sin x-1=0\\ \\ \sin x=1\\ \\ \boxed{x_2= \frac{\pi}{2} +2 \pi n,n\in\mathbb{Z}}$