найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции f(x) = 3x-x^2

Найдем точки пересечения с осью абсцисс.

Решим уравнение:

$3x-x^2 = 0 \\ \\ x(3-x) = 0 \\ \\ x_{1} = 0 \ ; \ x_{2} = 3$

Данные точки являются пределами интегрирования от 0 до 3.

Для нахождения площади (см. рисунок) решим определенный интеграла

$S = \int\limits^3_0 {(3x-x^2)} \, dx = ( \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3})|_0^3 = \\ \\ = \frac{3*3^2}{2} - \frac{3^3}{3} = \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = \frac{81-54}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: S = 4,5 кв. ед.