1) 3/(x-1) < (1-x)
ОДЗ: х - 1 ≠ 0 ⇒ х ≠ 1
3 < -x² + 2х -1
-x² + 2х -1 - 3 > 0
-x² + 2х - 4 > 0
Найдём нули функции у = -x² + 2х - 4
-x² + 2х - 4 = 0
D = 4 - 16 = -12 (решений нет)
График функции у = -x² + 2х - 4 - квадратная парабола веточками вниз. Поскольку она не пересекает ось х, то все значения этой функции отрицательны, и неравенство -x² + 2х - 4 > 0 решений не имеет. Поэтому и исходное неравенство 3/(x-1) < (1-x) решений не имеет.
2) log₃(3x+1)< 2
log₃(3x+1)< log₃9
ОДЗ: 3x+1 > 0 ⇒ 3x > -1 ⇒ х > -1/3
Поскольку основание логарифма 3 > 1, то между числами такое же соотношение, как и между логарифмами:
3x+1 < 9
3х < 8
х < 8/3
Сопоставляя решение х < 8/3 с ОДЗ, делаем вывод, что решением неравенства
является интервал: х∈ (-1/3 ; 8/3)
3)√(x-3)/(x-4) < 1
ОДЗ: а) х - 3 ≥ 0 ⇒ х ≥ 3 б) x - 4 ≠ 0 ⇒ х ≠ 4
таким образом ОДЗ: х∉ [3; 4) и (4; +∞)
а) при х ∉ [3; 4) (x-4)<0, поэтому</p>
√(x-3) > (x-4)
x-3 > х² - 8х + 16
х² - 9х + 19 < 0
х² - 9х + 19= 0
D = 81 - 76 = 5
x₁ = (9 - √5)/2 ≈ 3,38
x₂ = (9 + √5)/2 = 5,62
Неравенство х² - 9х + 19 < 0 верно при х∈(3,38; 5,62)
Но поскольку мы рассматривали (x-4)<0, решением исходного неравенства √(x-3)/(x-4) < 1 будет только область</p>
х∉ [3; 3,38) или, точнее х∉ [3; (9 - √5)/2)
б) при х ∉ (4; +∞) (x-4)> 0, поэтому
√(x-3) < (x-4)
x-3 < х² - 8х + 16
х² - 9х + 19 > 0
х² - 9х + 19= 0
D = 81 - 76 = 5
x₁ = (9 - √5)/2 ≈ 3,38
x₂ = (9 + √5)/2 = 5,62
Неравенство х² - 9х + 19 > 0 верно при х∈(-∞; 3,38) и ( 5,62; +∞)
Но поскольку мы рассматривали (x-4)>0, решением исходного неравенства √(x-3)/(x-4) < 1 будет только область
х∉ (5,62; +∞) или, точнее х∈ ((9 + √5)/2; +∞)
Ответ: х∉ [3; (9 - √5)/2) и ((9 + √5)/2; +∞)