Надо найти радиус шара, вписанного в пирамиду, ограниченную плоскостями, заданными следующими уравнениями в обычной ортогональной системе координат (x,y,z):
Плоскости x = 0, y = 0, z = 0 (это просто плоскости, построенные на координатных осях - плоскости XY, YZ, XZ) и
плоскость 12*x + 4*y - 3*z = 12;
Пояснения. Вершина А соответствует началу координат, точка B лежит на оси X и имеет координаты (1,0,0), точка С лежит на оси Y и имеет координаты (0,3,0), точка D лежит на оси Z и имеет координаты (0,0,4). Такая привязка пирамиды к ортогональной системе координат возможна потому, что треугольники CAD, BAD и ABC прямоугольные, это легко проверить по теореме Пифагора. Угол А - это "прямой трехгранный угол", то есть все три прямые АВ, АС и AD взаимно перпендикулярны.
Плоскость 12*x + 4*y + 3*z = 12 соответствует плоскости DBC и проходит через точки B(1,0,0) C(0,3,0) D(0,0,4), что легко проверить непосредственно (напомню, что три точки задают плоскость однозначно).
Уравнение плоскости легко привести к векторному виду nr = 12/13; где единичный вектор n = (12/13, 4/13, 3/13); InI = 1; а вектор r - это радиус-вектор точки плоскости, то есть попросту вектор (x,y,z), где x,y,z - коодинаты любойточки плоскости. Вектор n - нормаль к плоскости, то есть он перпендикулярен плоскости.
С другой стороны, центр шара, вписанный в эту пирамиду, должен быть равноудален от граней трехгранного угла, поэтому он лежит на прямой x = y = z;
или, что то же самое, радиус-вектор центра R имеет координаты (a,a,a), где a - радиус вписанного шара (я использую букву а, чтобы не было путаницы, где что).
При этом расстояние от центра до плоскости DBC тоже равно а. Из этого следует вот что - если провести перпендикуляр из центра на плоскость, и этот отрезок рассматривать, как вектор (с модулем а) с началом в центре и с концом на плоскости, то этот вектор можно записать в виде n*a, поскольку вектор n перпендикулярен плоскости DCB и по модулю равен 1.
Конечная точка вектора принадлежит плоскости (это точка касания шара и плоскости DCB). Запишем это в векторном виде.
R + n*a = r; где r - радиус-вектор точки касания.
Я представил радиус-вектор точки касания в виде суммы двух векторов - радиус-вектора центра шара и вектора из центра шара в точку касания (все просто!).
Поскольку точка касания лежит на плоскости, она подчинаяется уравнению плоскости. Чтобы этим воспользоваться, умножим скалярно обе стороны этого векторного равенства на n. Получим
Rn + a = nr = 12/13.
Rn = (12/13 + 4/13 + 3/13)*a = (19/13)*a; и получается элементарное соотношение
19*а + 13*а = 12;
Радиус шара a = 3/8.
Есть и такой способ - я соединяю центр шара с вершинами и считаю объем пирамиды как сумму объемов получившихся четырех пирамид, в которых радиус шара является высотой. Я получаю простую формулу, аналогичную известной формуле площади треугольника. Пусть V - объем пирамиды, S - площадь всех поверхности, а - радиус шара. Тогда
V = S*a/3;
Площади трех граней пирамиды легко считаются
Sabc = 3*1/2 = 32; Sabd = 4*1/2 = 2; Sacd = 4*3/2 = 6;
четвертая грань - это треугольник BCD со сторонами √17, √10 и 5; если есть большое желание, можно вычислить его площадь по Герону. Но есть более просто способ.
Я провожу в этом треугольнике высоту из точки В к стороне CD = 5 и получаю два прямоугольных треугольника. Если высота h, а сторона CD делится на отрезки x и 5 - x, то
x^2 + h^2 = 17;
(5 - x)^2 + h^2 = 10;
x = 16/5; h = 13/5;
Sbcd = 13/2;
Окончательно получается
V = 1*3*4/6 = 2; S = 13/2 + 2 + 6 + 3/2 = 16;
a*16/3 = 2;
a = 3/8;