(x^2-4x)^2 <=16

Question

(x^2-4x)^2 <=16<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2-4x%29%5E2+%3C%3D16" id="TexFormula1" title="(x^2-4x)^2 <=16" alt="(x^2-4x)^2 <=16" align="absmiddle" class="latex-formula">

Answer 1

(х² - 4х)² ≤ 16

(х² - 4х)² - 16 ≤ 0

разложим разность квадратов в левой части на множители

[(х² - 4х) - 4]·[(х² - 4х) + 4] ≤ 0

(х² - 4х - 4)·(х² - 4х + 4) ≤ 0

(х² - 4х - 4)·(х - 2)² ≤ 0

Множитель (х - 2)² всегда неотрицателен, тогда  неравенство справедливо, если

х² - 4х - 4 ≤ 0

найдём нули функции у = х² - 4х - 4

х² - 4х - 4 = 0

D = 16 + 16 = 32

√D = 4√2

х₁ = 0,5(4 - 4√2) = 2 - 2√2

х₂ = 0,5(4 + 4√2) = 2 + 2√2

График функции у = х² - 4х - 4 квадратная парабола веточками вверх, поэтому у<0 между корнями уравнения х₁ и х₂</p>

Неравенство имеет решение х ∈ [2 - 2√2 ; 2 + 2√2]

Answer 2

x^2-4x<=4</p>

x^2-4x-4<=0</p>

x=2+-sqrt(8)=2(1+-sqrt(2))

[2-2sqrt(2);2+2sqrt(2)]

x^2-4x<=-4</p>

x^2-4x+4<=0</p>

(x-2)^2<=0</p>

х=2

[2-2sqrt(2);2+2sqrt(2)]