Я, конечно, понимаю, что требуется "умное" решение, но всё-таки... :)))
При повороте плоскости на 60 градусов вокруг центра треугольника АВС вся фигура (вместе с продолжениями) перейдет в себя (ну, если повернуть по часовой стрелке, то А прейдет в В, М в К, В в С, К в Р, С в А, Р в М... а можно и против часовой повернуть). Поэтому все расстояния МК=МР=КР равны (еще раз - существует такое преобразование без сжатия, при котором эти отрезки совпадают, поэтому они равны). Это полностью исчерпывает доказательство.