Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=-x2+x+4 и y=-x+1

Решение.

1. Найдем точки пересечения линий:

y=-x(квадрат)+х+4

y=-x+1

Приравнивая ординаты линий:

-х(квадрат)+х+4=-х+1

х(квадрат)-2х-3=0

Теперь ищем корни:

х(первое)=-1

х(второе)=3

И соответствующие им ординаты:

у(первое)=2

у(второе)=-2

Теперь по формуле площади получаем:

$S=\int\limits^3_-1((-x^{2}+x-4)-(-x+1))dx=\int\limits^3_-1(-x^{2}+2x+3)dx=$ $(\frac{x}{-3}^{2}+x^{2}+3x)\int\limits^3_-1=(-9+9+9)-(\frac{1}{3}+1-3)=\frac{32}{3}$