Три ребра и диагональ прямоугольного параллелепипеда образуют арифметическую прогрессию с...

Question

Три ребра и диагональ прямоугольного параллелепипеда образуют арифметическую прогрессию с разностью d . Найти объѐм прямоугольного параллелепипеда.

Answer 1

Обозначим стороны параллелепипеда как a, (a+d), (a+2d).
Диагональ (a+3d).
Диагональ равна √((a²) + (a+d)² + (a+2d)²).
После раскрытия скобок и приведения подобных, получим
(a+3d) = √(3а² + 6ad + 6d²).
Возведем обе части в квадрат:
а² + 6ad + 9d² = 3а² + 6ad + 6d²
2а² = 3d²     d = а√(2/3).
Объём равен V =  a* (a+d)* (a+2d) = а² + 3a²d + 2аd².
Подставив вместо d его значение, получим
V = a³(7 + 3√6).

Answer 2

Три ребра a, b, с и диагональ m образуют прогрессию с разностью d.
b = a + d, с = a + 2d, m = a + 3d.
По теореме Пифагора
m^2 = a^2 + b^2 + c^2
(a + 3d)^2 = a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2
a^2 + 6ad + 9d^2 = a^2 + a^2 + 2ad + d^2 + a^2 + 4ad + 4d^2
9d^2 = 2a^2 + 5d^2
4d^2 = 2a^2
2d^2 = a^2
a = d*V(2)
Объем параллелепипеда
V = abc = a*(a + d)*(a + 2d) = d*V(2)*(d*V(2) + d)*(d*V(2) + 2d)
V = d^3*V(2)*(V(2) + 1)*(V(2) + 2)