Чтобы найти площадь нужно найти:
1 -пределы интегрирования
2 - какой из графиков проходит выше.
Для определения пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков функций y₁ = x² +1 и y₂ =3 - х.
Приравняем правые части этих функций
x² +1 = 3 - х
получим уравнение
x² + х - 2 = 0
D = 1 + 8 = 9
√D = 3
x₁ = (-1 - 3):2 = -2
x₂ = (-1 + 3):2 = 1
Итак, пределы интегрирования: нижний х = -2, верхний х = 1
Теперь рассмотрим неравенство
x² +1 < 3 - х
x² + х - 2 < 0
График функции f(x) = x² + х - 2 представляет собой квадратную параболу веточками вверх, поэтому решением неравенства x² + х - 2 < 0 будет интервал между корнями x₁ = -2 и x₂ = 1.
Таким образом, в интервале между пределами интегрирования график функции
y₂ =3 - х проходит выше графика функции y₁ = x² +1 . И площадь находится как определённый интеграл ∫(y₂ - y₁)dx в пределах от -2 до 1.
∫(y₂ - y₁)dx =
= ∫(3 - х )-(x² +1)dx =
= ∫(-x² - х + 2) dx =
= -x³/3 - х²/2 + 2х
Подставим пределы
S = -1³/3 - 1²/2 + 2·1 -(-(-2)³/3 - (-2)²/2 + 2·(-2) =
= -1/3 - 1/2 + 2 -( 8/3 - 2 - 4)=
= -1/3 - 1/2 + 2 - 8/3 + 2 + 4 =
= -9/3 - 1/2 + 8 =
= -3 - 0,5 + 8 =
= 4,5
Ответ: S = 4,5