Есть тут хоть одна геометрическая умняша? Сразу предупреждаю, ** халяву ни шиша вы не...

0 голосов
25 просмотров

Есть тут хоть одна геометрическая умняша? Сразу предупреждаю, на халяву ни шиша вы не получите.

Задача:
В треугольнике ABC проведены две чевианы AD и BE. Они пересекаются в
точке M. Площадь треугольника AME равна b, треугольника BMD равна а,
треугольника AMB - с. Найти площадь треугольника ABC.

Выходная формула: Sabc=a+b+c+a*b/c+(a+a*b/c)*(b+a*b/c)/(c-a*b/c)

Объясните поэтапно вывод формулы

Геометрия (1.2k баллов) | 25 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

По свойству чевианы (если надо, его можно легко доказать):
\frac{AE}{EC}= \frac{S_{ABE}}{S_{BEC}}; \,\,\,\, \frac{AE}{EC}= \frac{S_{AME}}{S_{MEC}} \\ \frac{S_{ABE}}{S_{BEC}}= \frac{S_{AME}}{S_{MEC}} \\ \frac{c+b}{a+d_1+d_2}= \frac{b}{d_2}
\frac{CD}{DB}= \frac{S_{ACD}}{S_{ADB}}; \,\,\,\, \frac{CD}{DB}= \frac{S_{CMD}}{S_{DMB}} \\ \frac{S_{ACD}}{S_{ADB}}= \frac{S_{CMD}}{S_{DMB}} \\ \frac{b+d_1+d_2}{c+a}= \frac{d_1}{a}
Вот и вся геометрия. Имеем два ур-я с двумя неизвестными. Из первого находим одно, подставляем во второе.
\frac{c+b}{a+d_1+d_2}= \frac{b}{d_2} \\ d_2c+d_2b=ba+bd_1+bd_2 \\ d_2c=ba+bd_1 \\ d_2= \frac{ba+bd_1 }{c}
Подставляем
\frac{b+d_1+ \frac{ba+bd_1}{c} }{c+a}= \frac{d_1}{a} \\ \frac{cb+cd_1+ba+bd_1 }{(c+a)c}= \frac{d_1}{a} \\ (cb+cd_1+ba+bd_1 )a=(c+a)cd_1 \\ acb+acd_1+ba^2+abd_1=(c+a)cd_1 \\ acd_1+abd_1-(c+a)cd_1=-ba^2-acb \\ acd_1+abd_1-c^2d_1-acd_1=-ba^2-acb \\ (ab-c^2)d_1=-ba^2-acb 
d_1= \frac{ba^2+acb}{c^2-ab}
d_2= \frac{ba+bd_1 }{c}= \frac{ba+b(\frac{ba^2+acb}{c^2-ab}) }{c}=... 
Дальше дело техники
Решение прекращено по согласованию с автором вопроса

image
Похожие задачи