тема: Производная показательной функции. Число е. (Колмогоров, 10-11 класс., стр...

0. Формула для всего:
$(e^x)'=e^x$
1. Дифференцирование сложной функции:
$(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
2. Производная линейной функции:
$(kx+b)'=k$
3. Производная произведения:
$(uv)'=u'v+uv'$
4. Уравнение касательной к y=f(x) в точке x0:
$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
5. Формула Ньютона-Лейбница:
$\int\limits^a_b f'(x)\, dx =f(b)-f(a)$

1) a) (Ф-лы 0, 1, 2)
$f'(x)=(e^{-5x})'=e^{-5x}\cdot(-5x)'=-5e^{-5x}$
б) (ф-лы 0, 1, 2, 3)
$f'(x)=(x\cdot2^x)'=(x)'\cdot2^x+x\cdot(2^x)'=1\cdot2^x+x\cdot(e^{x\ln2})'=\\=2^x+x\cdot e^{x\ln2}\cdot(x\ln2)'=2^x+x\cdot2^x\cdot\ln2=2^x(1+x\ln2)$
2) 0, 1, 2, 4
$f'(x)=(e^{-x})'=e^{-x}\cdot(-x)'=-e^{-x}$
$\boxed{y=-e^{-1}(x-1)+e^{-1}=e^{-1}(2-x)}$
3) 0, 5
$\int\limits^1_3 e^x\, dx =\int\limits_1^3(e^x)'\,dx=e^3-e^1=e^3-e$

1.
a)
$f(x)=e^{-5x};\ \ f'(x)=e^{-5x}\cdot(-5x)'=-5e^{-5x};\\$
b)
$f(x)=x\cdot2^x;\ \ \ f'(x)=(x\cdot2^x)'=x'\cdot2^x+x(2^x)'=2^x+\ln2\cdot x\cdot2^x=\\ =2^x(1+x\ln2))$
2.
y=y'_0(x-x_0)+y_0;\\ y=f(x)=e^{-x};\ \ y'=f'(x)=(e^{-x})'=e^{-x}(-x)'=-e^{-x};\\ x_0=1; y_0=f(x_0)=e^{-x_0}=e^{-1}= \frac{1}{e}; y'_0=f'(x_0)=-e^{-x_0}=-e^{-1}=\\ =-\frac{1}{e}\\ y=- \frac{1}{e}(x-1)+ \frac{1}{e}=e^{-1}(2-x);\\ y= \frac{1}{e}(2-x) " alt="y-y_0=y'_0(x-x_0)==>y=y'_0(x-x_0)+y_0;\\ y=f(x)=e^{-x};\ \ y'=f'(x)=(e^{-x})'=e^{-x}(-x)'=-e^{-x};\\ x_0=1; y_0=f(x_0)=e^{-x_0}=e^{-1}= \frac{1}{e}; y'_0=f'(x_0)=-e^{-x_0}=-e^{-1}=\\ =-\frac{1}{e}\\ y=- \frac{1}{e}(x-1)+ \frac{1}{e}=e^{-1}(2-x);\\ y= \frac{1}{e}(2-x) " align="absmiddle" class="latex-formula">
3.
$\int\limits^3_1 {e^x} \, dx=e^x\left|_1^3=e^3-e^1=e(e^2-1)=e(e-1)(e+1)$