Это очень простое задание, достаточно увидеть, что
1/(sqrt(N+1)+sqrt(N))=(sqrt(N+1)-sqrt(N))/(N+1-N)=sqrt(N+1)-sqrt(N)
(просто домножили числитель и знаменатель на разность радикалов и применили формулу разности квадратов)
Вот и всё!! Дальше устно, потому что понятно, что все "внутренности" взаимно уничтожаются
...=sqrt(2)-1 + sqrt(3)-sqrt(2) + ... + sqrt(99)-sqrt(98) + sqrt(100)-sqrt(99)=
sqrt(100)-1=10-1=9.
Если в общем случае(вместо 100 -> N), то ответ будет (sqrt(N)-1)