Сторона ромба 6√3 см а острый угол равен 60°. Найти длину диагонали ромба и радиус...

Question

Сторона ромба 6√3 см а острый угол равен 60°. Найти длину диагонали ромба и радиус окружности вписанной в ромб

Answer 1

Так как диагональ ромба делит угол пополам то угол, состовляющий часть угла 60 градусов раен 30 градусов. В этом треугольнике гипотенуза равна 6 sqrt(3). А соторона против 30 градусов равна половине гипотенузы то есть 3sqrt(3). Значит диагональ равен 6sqrt(3)(можно было заметить что треугольник с углом 60 градусов равносторонний.). Теперь найдем вторую диагональ D. По теореме пифагора D= корень(108-27)=корень(81)=9. Значит диагональ равен 18.

По формуле r=D1D2/4a=9*6корень(3)/24корень(3)=9/4=2,25

Answer 2

Рассмотрим треугольники на которые ромб делится диагоналями.

Против угла в 30° катет равный половине стороны. Диагональ в 2 раза длинее.

d=6√3см, второй катет D/2=√(6√3)²-(3√3)² = √108-27=√81=9 cм

D = 18 cм

Для определения радиуса вписанной окружности найдем высоту маленького треугольника через его площадь

s = √p(p-a)(р-b)(p-c), где р - полупериметр  p=(9+3√3+6√3)/2 = 4,5+4,5√3

s=√(4,5+4,5√3)(4,5+4,5√3-3√3)(4,5+4,5√3-6√3)(4,5+4,5√3-9)=√(4,5+4,5√3)(4,5+1,5√3)(4,5-1,5√3)(-4,5+4,5√3) = √(60,75-20,25)(20,25-6,75) =√40,5*13,5 =√546,75

R = s/a = √546,75/(6√3) = 13,5/6 = 2,25 cм