Найти наибольшее значение функции y=2cosx-cos2x на отрезке [0; п]

Вычислим первую производную функции
$y'=(2\cos x-\cos 2x)'=-2\sin x+2\sin 2x$

$y'=0;~~~~~ -2\sin x+2\sin 2x=0\\ \\ -2\sin x+4\sin x\cos x=0\\ \\ -2\sin x(1-2\cos x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$\left[\begin{array}{ccc}\sin x=0\\\cos x=0.5\end{array}\right~~~~\Rightarrow~~~~ \left[\begin{array}{ccc}x_1= \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x_2=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in \mathbb{Z} \end{array}\right$

Теперь отберем корни, принадлежащих [0;π].

$k=0;~~~~ x=0$

$n=0;~~~~ x= \frac{\pi}{3}$

Вычислим наибольшее значение функции на концах отрезка

$y(0)=2\cos 0-\cos 0=2-1=1~~~~~ \\ \\ y( \pi )=2\cos \pi -\cos2 \pi =-2-1=-3$

$y(\frac{\pi}{3} )=2\cos\frac{\pi}{3} -\cos\frac{2\pi}{3} =2\cdot \frac{1}{2} +\frac{1}{2} =1.5~~~~~-\max$

Найти наибольшее значение функции y=2cosx-cos2x ** отрезке [0; п]