При каком целом k неравенство х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0 верно при любом действительном х?

Question

При
каком целом k неравенство
х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0 верно при любом
действительном х?

Answer 1

0\\ \\k^2-6k+6 < 0\\(k-3)^2-3<0\\(k-3)^2<3\\-\sqrt{3}<k-3<\sqrt{3}\\3-\sqrt{3}<k<3+\sqrt{3}\\k \in \{2,3,4\}" alt="x^2+2(4k-1)x+15k^2-2k-7 =\\= x^2 + 2(4k-1)x +(4k-1)^2-(4k-1)^2+15k^2-2k-7=\\=(x+(4k-1))^2-16k^2+8k-1+15k^2-2k-7=\\=(x+4k-1)^2-k^2+6k-6>0\\ \\k^2-6k+6 < 0\\(k-3)^2-3<0\\(k-3)^2<3\\-\sqrt{3}<k-3<\sqrt{3}\\3-\sqrt{3}<k<3+\sqrt{3}\\k \in \{2,3,4\}" align="absmiddle" class="latex-formula">