В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого наклонена к...

Question

380 просмотров

В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Это сечение пересекает нижнее основание по хорде, которая стягивает дугу 90 градусов. Найдите объем цилиндра, если его высота равна 8 см

Математика Samands_zn (17 баллов) 17 Март, 18 | 380 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Хорда, диагональ сечения и образующая цилиндра составляют прямоугольный треугольник, углы которого 90, 60 и 90-60=30 градусов. По определению синуса, синус острого угла при хорде равен отношению образующей конуса к диагонали сечения. То бишь, если принять значение длинны диагонали сечения за Х, и учесть, что длинна образующей равна высоте, то:
$sin (60)= \frac{8}{x}\\ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{8}{x} \\x \sqrt{3}=16\\x= \frac{16}{ \sqrt{3} }$ .
Теперь найдем хорду. По теореме Пифагора, квадрат её длинны равен разности квадратов диагонали сечения и образующей цилиндра:
$x^{2} =(16 \sqrt{3})^2-8^2\\x= \sqrt{256*3-64} \\x= \sqrt{704} \\x=8 \sqrt{11}$
Найдем теперь радиус основания цилиндра. Два радиуса вместе с хордой образуют равнобедренный прямоугольный (по условию) треугольник. Так как радиусы равны, мы можем принять их за Х и снова воспользоваться теоремой Пифагора:
$(8 \sqrt{11})^2=x^2+x^2\\704=2x^2\\x^2=352\\x=4 \sqrt{22}$
Объем цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту. Площадь круга - π*r². Отсюда объем цилиндра:
$V=S*H= \pi *(4 \sqrt{22})^2*8=352*8* \pi =2816 \pi$
Ответ: объем данного цилиндра равен 2816π см³.

Keiry_zn (1.6k баллов) 17 Март, 18