5 * 25 ^ (x) - 15 ^ (x) + 9 ^(x+1) = 0

$5 * 25 ^x - 15 ^{x} + 9 ^{x+1} = 0\\5*5^{2x}-3^x*5^x+9*3^{2x}=0$
Пусть $5^{x}=a, 3^x=b$ . Тогда последнее уравнение можно представить как:
$5a^2-ab+9b^2=0\\ (a-b)^2+ab+4a^2+8b^2=0$
Числа а и b по определению больше нуля - независимо от степени, в которую мы поднимаем числа 5 и 3, результат не может быть нулевым или отрицательным. Квадрат разности (а-b) неотрицателен, все остальные слагаемые из последней формулы больше нуля. Следовательно, и результат сложения должен быть больше нуля. Противоречие.
Ответ: у данного уравнения корней нет.
Рассмотрим заново уравнение после замены с учетом уточненного условия.
$5a^2-18ab+9b^2=0\\9(a-b)^2-4a^2=0\\(3(a-b)-2a)(3(a-b)+2a)=0\\(a-3b)(5a-3b)=0\\ \left \{ {{a-3b=0} \atop {5a-3b=0}} \right. \\\left \{ {{a=3b} \atop {5a=3b}} \right. \\\left \{\frac{a}{b}=3} \atop { \frac{a}{b} = \frac{3}{5} }} \right.$
Найдем корни первого уравнения системы.
$\frac{5^x}{3^x}=3\\ ( \frac{5}{3})^x=3\\x=log_{ \frac{5}{3} }3$
Найдем корни второго уравнения системы.
$\frac{5^x}{3^x}= \frac{3}{5} \\ (\frac{5}{3})^x= \frac{3}{5} \\ (\frac{5}{3})^x= (\frac{3}{5})^{-1}\\x=-1$
Ответ: x₁=(-1); x₂= логарифм числа 3 по основе 5/3.