Используя прямоугольный треугольник с углом 30 градусов, найдите тангенс 15 градусов.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a,b$
Тогда гипотенуза по теореме Пифагора $c=\sqrt{a^2+b^2}$
Проведем с острого угла биссектрису , получим два треугольника, один из которых прямоугольный , обозначим отрезки на которые поделила биссектриса как $x;y$ . По свойству биссектрисы
$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}$
По теореме синусов
$\frac{a}{sin30}=\frac{b}{sin60}\\ b=a\sqrt{3}$
Из меньшего прямоугольного треугольника надо найти соотношение
$tg15=\frac{x}{b}$
$\frac{y}{x} = \frac{\sqrt{4a^2}}{a\sqrt{3}}\\ \frac{y}{x}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ y=\frac{2x}{\sqrt{3}}$
Из треугольник большего следует
$a=x+\frac{2x}{\sqrt{3}}\\ a=\frac{\sqrt{3}x+2x}{\sqrt{3}}\\$
$x=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}+2}\\ x=\frac{\sqrt{3}*\frac{b}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}+2}\\\\ tg15=\frac{x}{b}=2-\sqrt{3}$