Вычислите интеграл:

Question 1

Вычислите интеграл: $\int\limits^ \frac{1}{3} _ {0} \, \frac{dx}{ (6x-1)^{4} }$

Question 2

Попробуем посчитать интеграл, "отключив мозг":
$\displaystyle\int\limits^ {1/3} _ {0} \, \dfrac{dx}{ (6x-1)^{4} } =\dfrac16\int\limits_0^{1/3}(6x-1)^{-4}\,d(6x-1)=(?)=\frac16\left[\frac{(6x-1)^{-3}}{-3}\right]_0^{1/3}=\\=\frac16\left(-\frac13+\frac13\right)=0$

Получаем странный результат - интеграл от положительной функции равен нулю. Непорядок.

Ошибка скрывается в переходе, обозначенном (?). Надо было бы написать так:
$\displaystyle\dfrac16\left(\int\limits_0^{1/6}+\int\limits_{1/6}^{1/3}\right)(6x-1)^{-4}\,d(6x-1)$
Расписывая каждый интеграл по отдельности, становится понятно, что интеграл расходится (связано это с "нехорошей точкой" 1/6).

Question 3

Отыет 0
-----------------------

nelle987_zn · Answer 1 · 2018-03-17T15:49:06+0000

Попробуем посчитать интеграл, "отключив мозг":
$\displaystyle\int\limits^ {1/3} _ {0} \, \dfrac{dx}{ (6x-1)^{4} } =\dfrac16\int\limits_0^{1/3}(6x-1)^{-4}\,d(6x-1)=(?)=\frac16\left[\frac{(6x-1)^{-3}}{-3}\right]_0^{1/3}=\\=\frac16\left(-\frac13+\frac13\right)=0$

Получаем странный результат - интеграл от положительной функции равен нулю. Непорядок.

Ошибка скрывается в переходе, обозначенном (?). Надо было бы написать так:
$\displaystyle\dfrac16\left(\int\limits_0^{1/6}+\int\limits_{1/6}^{1/3}\right)(6x-1)^{-4}\,d(6x-1)$
Расписывая каждый интеграл по отдельности, становится понятно, что интеграл расходится (связано это с "нехорошей точкой" 1/6).