применим меиод математической индукции
при n=1 имеем
1/1*2=1-1/2 тождество выполняется
Пусть тождество верно при n=m
1/1*2+1/2*3+...+1/m(m+1)=1-1/(m+1)
покажем что при этом оно выполнятся при n=m+1
1/1*2+1/2*3+...+1/m(m+1)+1/(m+1)(m+2)=
первые m слагаемых равны 1-1/(m+1)
=1-1/(m+1)+1/(m+1)(m+2)=1-(m+2-1)/(m+1)(m+2)=1-1/(m+2)
т.о. мы показали что тождество выполнятся. при n=m+1
теорема доказана