Решите систему неравенств
{3/(2-x-√3) + (x+√3 -1)/(x+√3-3) ≥ 3
{(5x+2)(9-5x)(25x²-35x-18) < 0
Решение:
Решим в начале первое неравенство
3/(2-x-√3) + (x+√3 -1)/(x+√3-3) ≥ 3
ОДЗ: х≠2-√3; y≠3-√3
сделаем подстановку y = x+√3
3/(2-у) + (y -1)/(y - 3) ≥ 3
ОДЗ: y≠2; y≠3
(3(y-3) +(y-1)(2-y))/((2-y)(y-3)) ≥ 3
(3y - 9 -2+ 3y -y²)/((2-y)(y-3)) ≥ 3
(-y²+6y-9)/((2-y)(y-3)) -3 ≥ 0
(-y²+6y-9 - 3(2-y)(y-3))/((2-y)(y-3)) ≥ 0
(-y²+6y-9 - 3(-6+5y-y²))/((2-y)(y-3)) ≥ 0
(-y²+6y-9 +18-15y+3y²)/((2-y)(y-3)) ≥ 0
(2y²-9y+9)/((2-y)(y-3)) ≥ 0
Разложим числитель на множители
2y²-9y+9 =0
D =9² -4*2*9 =81-72=9
y1 =(9-3)/2 =6/2=3
y2=(9+3)/2=12/2=6
2y²-9y+9 =2(y-3)(y-6)
Запишем заново неравенство
2(y-3)(y-6)/((2-y)(y-3)) ≥ 0
(y-6)/(2-y) ≥ 0
Решим методом интервалов
Найдем точки смены знаков
y-6 = 0 2-y=0
y=6 y=2
На числовой прямой отобразим знаки левой части неравенства методом подстановки
- + -
-------!-----------!--------
2 6
Учитывая ОДЗ неравенство имеет решение для всех значений
y принадлежащих (2;3)U(3;6]
Находим решение для х учитывая что х = y-√3
Первое неравенство имеет решение для всех значений
х принадлежащих (2-√3;3-√3)U(3-√3;6-√3]
Решим второе неравенство
(5x+2)(9-5x)(25x²-35x-18) < 0
Разложим квадратный трехчлен 25x²-35x-18 на множители
25x²-35x-18 =0
D =(-35)² -4*25*(-18) = 1225 + 1800 =3025
x1 = (35 +55)/(2*25) = 90/50 =9/5 =1,8
x1 = (35 -55)/(2*25) = -20/50 = -2/5 =-0,4
Поэтому можно записать
25x²-35x-18 = 25(x-1,8)(x+0,4) =5(x-1,8)(5(x+0,4)) =(5x-9)(5x+2)
Подставим в исходное неравенство
(5x+2)(9-5x)(25x²-35x-18) < 0
(5x+2)(9-5x)(5x-9)(5x+2) < 0
-(5x+2)²(5x-9)² < 0
Это неравенство верно для всех х кроме значений -0,4 и 1,8
Общим решением системы неравенств будут все значения
х принадлежащие (2-√3;3-√3)U(3-√3;1,8)U(1,8;6-√3]
Ответ: (2-√3;3-√3)U(3-√3;1,8)U(1,8;6-√3]