найдите функцию F(x) по её производной F'(x) и условию F'(a)=b: F'(x)= 1+x+cos2x, F(0) = 1

Для нахождения первоначальной функции по ее производной нужно найти первообразную, т.е. взять интеграл от производной

$F(x) = \int{(1+x+Cos2x)}\, dx = x + \frac{x^2}{2}+\frac{Sin2x}{2}+C$

$F(x) = x + \frac{x^2}{2}+\frac{Sin2x}{2}+C$

Воспользуемся условием для отыскания произвольной постоянной С

F(0) = 1

F(0) = C = 1 ⇒ C = 1

Искомая функция

$F(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{Sin2x}{2} + 1$