558
Обозначим за D,E,F точки касания окружности со сторонами AB, BC, AC соответственно. Длины касательных, проведённых из точки вне окружности, равны, поэтому AD=AF, BD=DE, CE=CF. По условию, AD=2x, BD=3x (сторону AB обозначим за 5x, тогда AD/BD=2/3), CE=6. Следовательно, BE=BD=3x, AF=AD=2x. Таким образом периметр равен AD+BD+BE+CE+CF+AF=2x+3x+3x+6+6+2x=10x+12=52, откуда x=4, тогда AB=20, BC=3x+6=18, AC=2x+6=14.
555
Пусть в треугольнике ABC проведена медиана BM, тогда AM=CM. Точка O - центр вписанной окружности - лежит на BM. OM - радиус вписанной окружности, он перпендикулярен AC, так как проведён к этой стороне. Значит, и BM перпендикулярно AC, из чего следует, что BM и медиана и высота одновременно. Это возможно только в равнобедренном треугольнике, значит, ABC равнобедренный с основанием AC.
Сделать рисунок нет возможности, если что, спрашивай.