Доказать,что роследовательность 1,1/3,1/9... является бесконечно убывающей геометрической...

Чтобы последовательность была бесконечно убывающей, не6обходимо, что-бы модуль её знаменателя был бы меньше 1
смотрим, поккажем это и найдём её сумму
$1;\frac13;\frac19;...\\ b_1=1;\\ b_2=\frac13;\\ b_3=\frac19;\\ q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{\frac19}{\frac13}=\frac39=\frac13=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac13}{1}=\frac13;\\ \left|q\right|=\left|\frac13\right|=\frac13<1;\\ b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac13}=\frac{1}{\frac33-\frac13}=\frac{1}{\frac{3-1}{3}}=\frac{1}{\frac23}=\frac32=1,5;\\ S=\frac32=1,5.$