Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений будет иметь...

Можно решать задачу из соображений расположений графиков. Но можно так
Преобразуем второе уравнение
$\sqrt{x^2+(y-12)^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}=\sqrt{a^2+144}\\\\ x^2+(y-12)^2+(x-a)^2+y^2+2\sqrt{(x^2+(y-12)^2)((x-a)^2+y^2)}=\\ a^2+144\\\\ \sqrt{(x^2+(y-12)^2)((x-a)^2+y^2)}=-x^2+y^2-12y-ax\\\\ (x^2+(y-12)^2)((x-a)^2+y^2)=(-x^2+y^2-12y-ax)^2\\\\ ay+12x-12a=0\\\\ y=12-\frac{12x}{a}\\\\ a \neq 0\\$
подставляя во второе уравнение
$(a^2+144)x^2+192ax+48a^2=0\\\\ D=0\\\\ D=192a^2*(48-a^2)=0\\\\ a \neq 0\\\\ a=+/-4\sqrt{3}$

Так же можно решить , за счет симметрий уравнения