1)) можно попробовать доказать, что треугольник АОВ -- прямоугольный...
тогда tg(AOB) = BA / BO
BO^2 = 8^2 + 2^2 = 68
AO^2 = 10^2 + 6^2 = 136
AB^2 = 2^2 + 8^2 = 68
очевидно: 68+68 = 136
---> треугольник АОВ прямоугольный, да еще и равнобедренный...
значит, катеты равны...
а тангенс равен отношению катетов, т.е. равен 1
((или tg(45) = 1)))))))
2)) очевидно, что только точки В и С лежат точно в узлах сетки...
((и только они помогут вычислить длины отрезков)))
квадрат со стороной ВС является вписанным в эту окружность)))))))))))
следовательно, диагональ этого квадрата будет диаметром окружности...
d^2 = 8^2 + 8^2 = 2*8^2
d = 8√2
r = 4√2
треугольник АВС -- равнобедренный АВ = АС
перпендикуляр, опущенный из А на ВС, поделит ВС пополам...
обозначим середину ВС = Т ((ВТ = ТС = 4)))
найдем АТ -- это позволит вычислить тангенс угла АВС...
Известно: Если две хорды окружности пересекаются,
то произведение отрезков одной хорды = произведению отрезков другой хорды (((есть такая теорема)))))))))))))))))))
4*4 = АТ*(8√2 - АТ)
АТ^2 - 8√2*AT + 16 = 0
D = 64*2 - 4*16 = 8^2
AT = (8√2 +- 8) / 2 = 4√2 +- 4
в нашем случае АТ > радиуса ---> АТ = 4√2 + 4
tg(ABC) = АТ / ВТ = (4√2 + 4) / 4 = √2 + 1
угол в градусах получился неочевидным...
можно рассмотреть получившиеся треугольники...
существует равнобедренный треугольник АОВ, где О -- центр окружности...
также существует равнобедренный треугольник ВОС
радиус мы уже знаем...
АТ --- это часть диаметра, т.е. центр окружности О лежит на отрезке АТ
((( ВО = ОС = ОА = r, ВА = АС -- по условию -->
треугольники ВОА = СОА по трем сторонам --->
углы ВАО = САО,
АТ является не только высотой равнобедренного треугольника ВАС, но и биссектрисой угла ВАС ---> углы ВАТ = САТ --->
т.к. ВАТ = ВАО -- это половинки одного и того же угла ВАС,
следовательно точка О принадлежит АТ))))
АТ = 4√2 + 4
радиус = 4√2
ОТ = 4
треугольник ВОТ прямоугольный и ВТ=4=ОТ --- он равнобедренный...
---> угол ВОТ = ОВТ = 45 градусов))))))))))))))))))
треугольник ВАО равнобедренный с углом при вершине 180-45 = 135
на два оставшихся равных угла приходится по 45/2 = 22.5 градуса
угол АВС = АВО + ОВТ = 22.5 + 45 = 67.5 градуса