Так:1. Один из монахов оставил мальчика в монастыре и, вылечив, стал готовить к принятию монашества.
Комментарий: одиночное деепричастие обособляется, т.к. имеет значение дополнительного действия и стоит впереди глагола.
2. Он начал приносить книги и старался читать их незаметно, а прочитав, куда-то прятал.
Комментарий: деепричастную конструкцию невозможно оторвать от союза, изъять из предложения или переставить с другое место без разрушения структуры предложения.
3. Возникает впечатление, что, описывая в статье жанр малой эпопеи, Гоголь во многом анализировал главное произведение своей жизни.
Комментарий: деепричастный оборот, стоящий после подчинительного союза отделяется от него запятой.
4. Герой не задумываясь принимает решение устроиться работать не строительстве плотины, из-за которой и будет затоплен остров.
Комментарий: одиночное деепричастие тесно сливается по смыслу с глаголом, можем заменить наречием “быстро”
5. Солдаты слушали Василия Теркина затаив дыхание. [— =]
Комментарий: деепричастный оборот превратился в устойчивое словосочетание.
6. Обломов, по причине воспитания с мамушками и нянюшками, превратился в безвольно...