Помогите решить неравенство:

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Представим данное неравенство как:
$14-14+1+6x- \sqrt{7-3x} \geq 0$
Вынесем -2 за скобки из -14+6:
$-2(7-3x)+14+1- \sqrt{7-3x} \geq 0$
Выполним замену: t=√(7-3x).
$-2t^2+14+1- t \geq 0 \\ 2t^2+t-15 \leq 0$
Находим нули функции:
$2t^2+t-15 = 0 \\ D=1^2-4*2*(-15)=1+120=121 \\ \sqrt{D}=11 \\ x_1= \frac{-1+11}{4}=2,5 \\ x_2= \frac{-1-11}{4}=-3$
Проверим, каким будет знак функции на каждом из интервалов (минус бесконечность; -3), (-3; 2,5), (2,5; плюс бесконечность):
0" alt="2*(-100)^2-100-15=20000-115=19885 \\ 19885 >0" align="absmiddle" class="latex-formula">
Поскольку знаки чередуются, то функция будет меньше или равна нулю только на интервале [-3; 2,5].
Возвращаемся к замене. Должны одновременно выполняться следующие условия:
√(7-3x)∈[-3; 2,5]; и
7-3x≥0 - поскольку подкоренное выражение не может иметь отрицательное значение.
Для начала разберемся с ОДЗ:
7-3х≥0;
-3х≥-7;
х≤2,(3).
Теперь вернемся к первому условию. Его следует представить системой из двух неравенств:
$\left \{ {{ \sqrt{7-3x} \geq -3} \atop { \sqrt{7-3x} \leq 2,5}} \right.$
Посмотрим на первое неравенство. Его левая часть больше или равна 0 - по ОДЗ, в то время как правая - меньше. Следовательно, оно выполняется для всех действительных чисел, входящих в ОДЗ, и эквивалентно уже решенному неравенству 7-3х≥0.
Теперь займемся вторым. Возведем обе его части в квадрат - обе они больше нуля, так что это допустимо (левая часть по ОДЗ, правая - константа).
$\sqrt{7-3x} \leq 2,5} \\ 7-3x \leq 6,25 \\ -3x \leq -0,75 \\ x \geq 0,25$
Итоговый интервал будет выглядеть как объединение условий этого неравенства и ОДЗ.
Ответ: $x$ ∈ $[ \frac{1}{4} ; 2 \frac{1}{3}]$ . Квадратные скобки показывают что границы интервала входят в решение.

Keiry_zn (1.6k баллов) 18 Март, 18