Sin^6 x+cos^6 x=7/4 cos^2 2x

$\sin^6x+\cos^6x= \frac{7}{4} \cos^22x\\ (1-\cos^2x)^3+\cos^6x=\frac{7}{4}\cdot (2\cos^2x-1)^2$
Произведем замену переменных
пусть $\cos x=t$ (|t|≤1), тогда получаем
$(1-t^2)^3+t^6=1.75(2t^2-1)^2\\ -(t^2-1)^3+t^6-1.75(2t^2-1)^2=0$
Пусть $t^2=z\,(z \geq 0)$ , откуда
$-(z-1)^3+z^3-1.75(2x-1)^2=0\\ -(z^3-3z^2+3z-1)+z^3-1.75(4z^2-4z+1)=0\\ -z^3+3z^2-3z+1+z^3-7z^2+7z-1.75=0\\4z^2-4z+0.75=0|\cdot 4\\ 16z^2-16z+3=0 \\ D=b^2-4ac=(-16)^2-4\cdot 16\cdot 3=64 \\ z_1= \frac{16-8}{2\cdot16} =0.25\\z_2= \frac{16+8}{2\cdot16}=0.75$
Обратная замена
$t^2=0.25\\ t=\pm 0.5\\ t^2=0.75\\t=\pm \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Возвращаемся к замене
$\cos x=\frac{ \sqrt{3} }{2}\\ x=\pm \frac{\pi}{6}+2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=-\frac{ \sqrt{3} }{2}\\ x=\pm \frac{5 \pi }{6} +2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=0.5\\ x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=-0.5\\ x=\pm \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n,n\in Z$