6. Стороны треугольника ABC равны: AB=3 см, BC=4 см, AC=5 см. Точка M равноудалена от...

Дано: $\Delta ABC$
$AB=3; BC=4; AC=5$
$AM=BM=CM=5$

Решение: чтобы найти такую прямую, точки которой расположены одинаково далеко от вершин треугольника, нужно рассмотреть частный случай - найти такую точку в плоскости самого треугольника. Нетрудно догадаться, что эта точка - центр описанной окружности $\Delta ABC$ .

Рассмотрим $\Delta ABC$ . Это - египетский прямоугольный треугольник, что подтверждается теоремой Пифагора: $\sqrt{3^2+4^2}=5$ . А центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Итак, радиус этой окружности равен $R=\frac{AC}{2}=2.5$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta MOC$ . В нем $CM=5; OC=2.5$ . Третью сторону найдем по теореме Пифагора:

$OM=\sqrt{5^2-(2.5)^2}=\sqrt{25-\frac{25}{4}}=5\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$

Это и есть искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$

Ответ: $\frac{5}{2}\sqrt{3}$