Рассмотрим небольшую задачу. Имеется
некоторый прямоугольник. Его стороны равны
2см и 3 см. Каждую сторону прямоугольника
увеличили на одинаковое количество
сантиметров. После этого площадь
прямоугольника стала больше на 12 см 2. Как
изменилась каждая из сторон?
Решение. Так как стороны увеличили на одно
и тоже число, обозначим это число за х.
Теперь можем записать формулы сторон
нового прямоугольника.
(2+х) см и (3+х) см. Площадь прямоугольника
равна произведению его сторон,
следовательно (2+х)*(3+х) см2.
Исходя из условия задачи, имеем: (2+х)*
(3+х)>12.
Раскрывая скобки, получим: х 2 + 5*x+6>12
или , что эквивалентно х 2 + 5*x-6>0.
Теперь разложим левую часть этого
неравенства на множители, получим:
(х+6)*(х+1) > 0.
По условию задачи, х положительное число.
Следовательно (х+6) тоже положительное
число, а значит на него можно поделить наше
неравенство. Поделим обе части неравенства
на (х+6).
Получим х-1>0. Следовательно х>1.
Возвращаясь к исходным данным запишем
ответ.
Ответ: каждую из сторон увеличили больше
чем на 1 см.
В результате решения, мы получили
неравенство х 2 + 5*x-6>0. Данное неравенство
называется неравенство второй степени с
одной переменной. Так же его можно назвать
квадратным неравенством.
Определение неравенств второй
степени с одной переменной
Квадратным неравенством называется
неравенство, в левой части которого стоит
квадратный трехчлен, а в правой части число
нуль.
Вот, несколько примеров квадратных
неравенств:
1. х 2 + 5*x-6>0
2. 5*х 2 - 5*x+2<=0
3. -2*x 2+34*x-18>0.
Условие решения квадратных
неравенств
Решением неравенства второй степени с
одним неизвестным называется такое
значение не известной, при котором это
неравенство обращается в верное числовое
неравенство.
Когда говорят решить неравенство,
подразумевают найти все его решения, либо
установить что неравенство не имеет решений.
Рассмотрим еще один пример.
Решить неравенство x 2-5*x+6 > 0.
Решение.
Сначала решим квадратное уравнение x 2 -5*x
+6=0, любым из известных способов. Его
корни равны х=2 и х=3.
Теперь разложим трехчлен x 2-5*x+6 на
множители. Получим
(х-2)*(х-3).
Перепишем исходное неравенство
(х-2)*(х-3)>0.
Произведение двух сомножителей будет
положительным, если обо сомножителя имеют
одинаковый знак, то есть либо оба
сомножителя больше нуля, либо оба
сомножителя меньше нуля.
Рассмотрим два случая.
1. Оба сомножителя больше нуля.
Получаем систему уравнений.
{x-2>0
{x-3>0
Решаем её и получаем ответ х>3.
2. Оба сомножителя меньше нуля.
Получаем систему уравнений
{x-2<0
{x-3<0
Решаем её и получаем ответ х<2.
Объединяем оба полученных ответа, и
записываем общий ответ.
Ответ: х3.