х^4(x^2-16)/x^2-2x≥0(х-5)√x^2-4≤0 x^2-4 - всё выражение под корнем.

Question

Дан 1 ответ

аноним · Answer 1 · 2018-03-18T01:52:25+0000

$\frac{x^4(x^2-16)}{x^2-2x} = \frac{x^4(x-4)(x+4)}{x(x-2)}$
Т.к. на ноль делить нельзя, то точки х=0 и х=2 выкидываем
Поскольку х⁴ всегда больше нуля, то должно выполняться
$\frac{(x-4)(x+4)}{x(x-2)} \geq 0$
Определяем знаки каждого множителя числителя и знаменателя
(⁰ - это незакрашенная точка, ее не берем, * - закрашенная точка, ее берем):
1) х
   - +
--------------------------------------------------₀--------------------------------------------------->
0
2) (x-2)
- +
----------------------------------------------------------------₀------------------------------------>
2
3) (x-4)
  - +
------------------------------------------------------------------------------*---------------------->
4
4) (x+4)
- +
----------------------------*------------------------------------------------------------------------->
-4
Определяем знаки всего выражения:
+   - + - +
----------------------------*-----------------₀---------------₀-------------*------------------------->
-4 0 2 4
В ответ выписываем положительные интервалы.
Ответ: (-∞;4]U(0;2)U[4;∞)
(смотри внимательно, не перепутай круглые и квадратные скобки)
Примечание: необязательно рассматривать каждый множитель. Можно найти точки в которых они равны нулю (это будут -4, 0, 2, 4). Ометить их на числовой прямой и определить знаки в каждом интервале. Т.е. сразу получаем последний рисунок. Так даже проще, тупанул я немножно)))

(x-5)√(x²-4)≤0
1) Найдем область определения. Корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, значит
x²-4≥0
(x-2)(x+2)≥0
Решаем ур-е (x-2)(x+2)=0
Его решения: -2 и 2
Отмечаем их на числовой прямой и определяем знаки

+ -   +
-----------------------------*---------------------*------------------------------------->
-2 2

2) Т.к. значение корня всегда неотрицательно, значит
x-5≤0
x≤5
С учетом области определения, получаем ответ.
Ответ: (-∞;-2]U[2;5]