1)Модель атома Бора очень хорошо сходилась с формулой Ридберга(формула для частоты излучения атомом энергии, зависящая с какой орбиты электрон переходит в невырожденное состояние, которая объясняла линейчатые спектры), тк в ней присутствовало квантование орбит, что дало полное понятие формулы Ридберга.
2)Модель атома Бора не смогла объяснить закономерности для более сложных атомов с бОльшим количеством электронов(теория Бора строилась для атома водорода с одним электроном изначально), но впоследствии данные закономерности были изучены.
3)Мы знаем, что на одном уровне(который характеризуется квантовым числом n) может находится два электрона, также мы знаем, что на n-ой орбитале n^2 подуровней(на 2ой - 4, на 3ей - 9, итд). Отсюда делаем вывод, что всего электронов в оболочке 2n^2.
Ps: Если честно, то 3ей номер не подробное доказательство(давно очень доказывал). Если по-нормальному доказывать, что нужно хорошо оперировать со всеми квантовыми числами, я думаю, врятли в школе это так подробно изучают.