В треугольнике АВС ** стороне АВ взята точка К так,что АК:ВК=1:2,а ** стороне ВС взята...

Question

В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так,что АК:ВК=1:2,а на стороне ВС взята точка L так,что CL:BL=2:1.Пусть Q-точка пересечения прямых AL и CK.Найти площадь треугольника АВС,зная,что площадь треугольника BQC=1. Ответ 7/4

Answer 1

Отношение площадей треугольников ABC и BQC равно отношению их высот из вершин A и Q (основание ВС общее) .
Отношение высот равно отношению AL/QL.
Это отношение можно найти двумя способами.

1.Теорема Менелая для треугольника ABL и прямой СК.
AK/KB*BC/CL*LQ/QA=1
1/2*3/2* LQ/QA=1
LQ/QA=4/3
LQ/AL=4/7
AL/LQ=7/4
S(ABC)=7/4.




Проводим KN параллельно AL, N – на BC.
AL/KN=AB/KB=3/2
AL=3/2 KN (1)

QL/KN=CL/CN
LN=x, BL/LN=BA/KA=3, BL=3x, 
CL/BL=2, CL=6x
CN=CL+LN=7x
QL/KN=6x/7x=6/7
QL=6/7 KN (2)

Разделив (1) на (2)

AL/LQ=7/4
S(ABC)=7/4.