Упростим дробь, для чего разделим числитель на знаменатель.
x^4/(x^4+1) = 1-1/(x^4+1).
Анализируем полученную функцию на экстремумы, для чего нужно отыскать точки, где первая производная обращается в ноль.
Находим производную функции: 4x^3/(x^4+1)^2.
Она обращается в ноль в единственной точке х=0.
Проверим, что достигается в этой точке - максимум, или минимум.
Анлизируем знак второй производной при х=0.
Находим вторую производную: -32x^6/(x^4+1)^3+12x^2/(x^4+1)^2
При х=0 вторая производная обращается в ноль, следовательно точка х=0 может и не быть точкой экстремума.
Проанализируем поведение функции y=1-1/(x^4+1) в окрестности точки х=0
Вследствие четной степени х функция является четной, т.е. её значение не зависит от знака х. При х=0 значение функции равно 0. При х=1 значение функции равно 1/2. При х=2 значение функции равно 8/9 и.т.д. Т.е. мы видим, что с ростом х значение функции растет. При х, стремящемся к бесконечности, значение функции стремится к 1 (значение дроби 1/(х^4+1) стремится к нулю).
Поэтому в точке х=0 мы имеем минимум.
Максимум функции достигается при плюс и минус бесконечности., поэтому можно говорить, что функция максимума не имеет.