Быть шефом - шефствовать(шефствую),
ездить по новым местам - путешествовать (путешествую),
торжественно идти - шествовать (шествую),
идти следом - следовать (следую),
вести беседу - беседовать (беседую),
передаваться размышлениям - раздумывать (раздумываю),
слегка качать - покачивать (покачиваю).