Найти все значения параметра a при которых уравнение имеет единственное решение:...

Уравнение имеет единственной решение, когда это полный квадрат, и/либо дискриминант равен 0;
найдём а и через дискриминант и через полный квадрат
$(a-1)x^2+x+5=0;\\ D=0; D=b^2-4\cdot a\cdot c=1-4\cdot(a-1)\cdot5=0;\\ 1-20(a-1)=0;\\ 20(a-1)=1;\\ (a-1)=\frac1{20};\\ a=1+\frac1{20};\\ a=1\frac1{20}.$
через віделение полного квадрата
$(a-1)x^2+x+5=0;\\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\\ (\sqrt{a-1}x)^2+2\cdot\sqrt{a-1}x\cdot\sqrt5+(\sqrt5)^2=0;\\ (\sqrt{a-1}x+\sqrt5)^2=0;\\ 2\cdot\sqrt{a-1}\sqrt5\cdot x=1\cdot x;\\ 2\cdot\sqrt{a-1}\sqrt5=1;\\ \sqrt{a-1}=\frac{1}{2\sqrt5};\\ a-1=\frac{1}{4\cdot5}=\frac1{20};\\ a=1+\frac1{20}=1\frac1{20}$

значит при $a=1\frac{1}{20}$ уравнение (а-1)х²+ч+5=0 имеем один корень