Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него...

Question

28 просмотров

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в которых можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов треугольника равно 8/15.

Математика аноним 18 Март, 18 | 28 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Пусть дан треугольник $ABC$ , с прямым углом $C$ . Обозначим катеты 8x;15x" alt="BC;AC =>8x;15x" align="absmiddle" class="latex-formula">
Возьмем точку $G$ на стороне $AC$ , опустим перпендикуляр
$GL$ .
Так как $GL;GC$ касательные проведенные с одной точки , то они равны
$AB=\sqrt{(8x)^2+(15x)^2}=17x$
Треугольники $ACB ; AGL$ подобны .
Откуда $\frac{8}{15}=\frac{10}{AL}\\ AL=\frac{75}{4}$ .
Так как в четырехугольник $GLBC$ вписана окружность , то сумма противоположенных сторона равна другим противоположенным сторонам.
$17x-\frac{75}{4}+10=8x+10\\ x=\frac{25}{12}$ . $x$ - коэффициент пропорциональности .
Откуда стороны равны $\frac{50}{3} ; \frac{125}{4};\frac{425}{12}\\\\ r=\frac{\frac{50}{3}+\frac{125}{4}-\frac{425}{12}}{2}=\frac{25}{4}$

Матов_zn (224k баллов) 18 Март, 18