Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.
Доказать(решить) тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части. В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.
Способы:
1. Выполнить равносильные преобразования левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным.
2. Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
3. Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
4. Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
5. Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
Например, x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x)
Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства: x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.
Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку:
x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).
Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством. Всё!!!
Примеры тождеств:
a + b = b + a;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a*b = b*a;
a*(b*c) = (a*b)*c;
a*(b + c) = a*b + a*c;
a + 0 = a;
a*0 = 0;
a*1 = a;
a*(-1) = -a.