1) Область определения функции. ОДЗ:Точки, в которых функция точно неопределена: x=1, x=-1, кроме этих точек -00
2) Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 1/(x^2-1).
Результат: y=-1. Точка: (0, -1)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:1/(x^2-1) = 0Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:
Нету корней, значит график функции не пересекает ось X.
3)Знаки: -1x>1 y>0
7) Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=-2*x/(x^2 - 1)^2=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=0. Точка: (0, -1)Интервалы возрастания и убывания функции:Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумов у функции нетуМаксимумы функции в точках:0Возрастает на промежутках: (-oo, 0]Убывает на промежутках: [0, oo)Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=8*x^2/(x^2 - 1)^3 - 2/(x^2 - 1)^2=0lim y'' при x->+1
lim y'' при x->-1
(если эти пределы не равны, то точка x=1 - точка перегиба)
lim y'' при x->+-1
lim y'' при x->--1
(если эти пределы не равны, то точка x=-1 - точка перегиба)
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=1. Точка: (1, oo)x=-1. Точка: (-1, oo)8) Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: (-oo, -1] U [1, oo)Выпуклая на промежутках: [-1, 1]9)Вертикальные асимптотыЕсть: x=1 , x=-1Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим:lim 1/(x^2-1), x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0lim 1/(x^2-1), x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0Наклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы lim 1/(x^2-1)/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слеваlim 1/(x^2-1)/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа4)Четность и нечетность функции:Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:1/(x^2-1) = 1/(x^2 - 1) - Да1/(x^2-1) = -(1/(x^2 - 1)) - Нетзначит, функция является чётной