Докажите, что если сумма положительных чисел a и b равна 1, то: (верхнее выражение)Я...

0 голосов

47 просмотров

$a^{4}+b^{4} \geq \frac{1}{8}$
Докажите, что если сумма положительных чисел a и b равна 1, то: (верхнее выражение)
Я пробовал решить составив систему неравенств

докажите
сумма
чисел
равна
выражение
пробовал
5 - 9 классы
алгебра

Алгебра Freakazoid_zn (25.6k баллов) 18 Март, 18 | 47 просмотров

Ваш комментарий к вопросу:

Отображаемое имя (по желанию):

Напишите мне, если после меня будет добавлен комментарий:Напишите мне, если после меня добавят комментарий

Конфиденциальность: Ваш электронный адрес будет использоваться только для отправки уведомлений.

Анти-спам проверка:

Чтобы избежать проверки в будущем, пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь.

Ваш ответ

Отображаемое имя (по желанию):

Отправить мне письмо на это адрес если мой ответ выбран или прокомментирован:Отправить мне письмо если мой ответ выбран или прокомментирован

Конфиденциальность: Ваш электронный адрес будет использоваться только для отправки уведомлений.

Анти-спам проверка:

Чтобы избежать проверки в будущем, пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь.

Дан 1 ответ

0 голосов

Правильный ответ

Дано, что $a+b=1$ , значит $b=1-a$
Значит надо доказать, что:
$a^4+(1-a)^4 \geq \frac{1}{8}$
Исследуем левую часть неравенства как функцию от а:
$f(a) = a^4+(1-a)^4$
Считаем производную:
$f'(a) = 4a^3-4(1-a)^3$
Если решить уравнение $f'(a)=0$ , то будет один корень а = 1/2 - это точка минимума.
Находим минимальное значение f(a):
$f( \frac{1}{2}) = ( \frac{1}{2} )^4+(1- \frac{1}{2} )^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$
Минимальное значение функции = 1/8, значит:
$f(a) = a^4+(1-a)^4 \geq \frac{1}{8}$

elv1s42_zn (1.6k баллов) 18 Март, 18

Если после выноса скобки (а - 1/2) упростить всё, что остается, то можно заметить, что многочлен третьей степени разделится на (а-1/2), должно получиться (2a-1)^2 * (4a^2 - 4a + 7)

оставил комментарий elv1s42_zn (1.6k баллов) 18 Март, 18

я выношу за скобку (a-1/2), упрощаю и получаю: (a-1/2)(2a^ - 3/2a^2 + 3a - 7/4) верно ли? ...думаю нет, неверно. т.к. не получается привести к виду (2a-1)^2 * (4a^2 - 4a + 7). раза 6-8 решал, да всё никак.