Слева: знаменатель tg(2x)*tgx = (sin(2x)/cos(2x))*(sinx/cosx) = (2sinx*cosx/(cos^2(x) - sin^2(x))*(sinx/cosx) = 2sinx*cosx*sinx/((cos^2(x) - sin^2(x))*cosx) = 2sin^2(x)/(cos^2(x) - sin^2(x))
дробь 2sin^2(x)/(2sin^2(x)/(cos^2(x) - sin^2(x)) = cos^2(x) - sin^2(x)
левая часть равна правой, тождество доказано.