сколько цифр содержит десятичная запись числа 7 корней з 20 в 14 степени?

0 голосов
29 просмотров

сколько цифр содержит десятичная запись числа 7 корней з 20 в 14 степени?


Алгебра (15 баллов) | 29 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
(7\sqrt{20})^{14}=(\sqrt{98})^{14}\cdot(\sqrt{10})^{14}=98^7\cdot10^7

Второй множитель просто добавляет к записи 7 нолей, рассматриваем первый множитель. 98 — "немного меньше" 100, поэтому было бы логично ожидать, что 98^7 "немного меньше" 100^7. В последнем числе 15 цифр, покажем, что в нужном числе 14 цифр. По сути надо доказать неравенство 98^7\geqslant10^{13}.

Оценим 98^{7}.
Используем неравенство Бернулли: (1+x)^n\geqslant 1+nx, если x\geqslant-1.
98^{7}=10^{14}\cdot(1-0.02)^7\geqslant10^{14}\cdot(1-0.14)\ \textgreater \ 10^{13}

Итак, десятичная запись числа 98^7 состоит из 14 цифр, 10^7 добавляет ещё 7 нулей, всего получается 21 цифра.
(148k баллов)