Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, прове-
дённому в точку касания. Дано: окр (О;ОА) р – касательная к окружности,
А – точка касания. Доказать: р перпендикулярна ОА.
Доказательство (методом от противного)
Предположим, что р не перпендикулярна ОА
В
этом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как
перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА,
то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса.
Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т.е. р –
секущая. Но это противоречит условию теоремы, что р - касательная к
окружности. Так как получили противоречие, то предположение, что р не
перпендикулярно ОА было неверным, значит, р перпендикулярна ОА. Итак,
касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку
касания.
Верна и теорема, обратная теореме о свойстве касательной - признак касательной.
Теорема.
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и
перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Дано: окр (О;ОА), р, А принадлежит р, р перпендикулярна ОА Доказать: р – касательная к окр (О;ОА).
Доказательство
По
условию р принадлежит ОА, ОА – радиус окружности, поэтому расстояние от
центра окружности до прямой р равно радиусу ОА. Следовательно, прямая и
окружность имеют только одну общую точку. А это означает, что данная
прямая р является касательной к окружности. Итак, если прямая проходит
через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому
радиусу, то она является касательной.