В прямоугольном треугольнике вневписанная окружность касается гипотенузы и продолжения...

По формуле радиус вневписанной окружности равен $r_{c}=\frac{S}{p-c}$ , пусть катеты равны $a,b$ , гипотенуза $c$ .
Радиус вписанной окружности тогда равен $r=\frac{a+b-c}{2}=2\\ a+b-c=4$
$r_{c}=\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b-c}{2}}=10\\ \frac{ab}{a+b-c}=10\\ a^2+b^2=c^2$

Получаем систему уравнений
$\frac{ab}{a+b-c}=10\\ a^2+b^2=c^2\\ a+b-c=4\\\\ ab=10a+10b-10c\\ ab=40\\ c=8$
Ответ $8$