ВЕЛИКИЕ ГЕНИИ,ОТЗОВИТЕСЬ!!!!помогите с этими заданиями((((((

$(n^5-n)\, \vdots \,10$

Доказываем по методу МИ

1) при n=2
$2^5-2=30\, \vdots \, 10$ (кратно 10 )

2) пусть верно при n=k
$(k^5-k)\, \vdots \,10$

3) докажем что верно при n=k+1
$((k+1)^5-(k+1))\, \vdots \,10$

$k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 4k=(k^5-k)+5k^4+10(k^3+k^2)+5k=\\ \\ =(k^2-k)+10(k^3+k^2)+5k(k^3+3)$

докажем что данное выражение кратно 10
$k^5-k \, \vdots \,10$ по предположение в пункте 2)

$10(k^3+k^2)\, \vdots 10$ это очевидно

$5k(k^3+3)=5k(k+1)(k^2-k+1)$ это выражение кратно 5. Но также внем есть два последовательных числа k и k+1 значит одно из них четное, значит делится на 2. Получили что это число кратно 5 и кратно 2, значит кратно 10

Значит все выражение кратно 10
По мат.индукции доказали, что верно при любом n>=2

Остальные примеры аналогично