(0,5(1)) в минус 1 степени

Представим десятичную периодическую дробь 0.5(1), как обыкновенную дробь:

$x = 0.5(1)\\\\ 10x = 5.(1), \ 100x = 51.(1)\\\\ 100x - 10x = 51.(1) - 5.(1) = (51 + 0.(1)) - (5 + 0.(1)) = 51 - 5\\\\ 90x = 46\\\\ x = \frac{46}{90} = \frac{23}{45}\\\\ (\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}\\\\ (0,5(1))^{-1} = (\frac{23}{45})^{-1} = \frac{45}{23}$