Решить дифференциальное уравнение:
5xydx - (y² + 5x²)dy = 0.
(y²+5x²)dy = 5xydx
dy/dx = 5xy/(y² + 5x²)
Получили однородное дифференциальное уравнение так как
функция 5xy/(y² + 5x²) однородная нулевого порядка
или если подставить вместо х и у kx и ky то получим
5(kx*kx)/((ky)²+5(kx)²) =(k^0)*5(yx)/(y²+5x²)
Положим y = ux или u = y/x, y' = xu'+ u
Подставим в исходное уравнение
xu'+ u = 5ux²/(u²*x² +5x²)
xu'+ u = 5u/(u² + 5)
xu' = (5u - u³ - 5u)/(u² + 5)
xu' = -u³/(u² + 5)
((u² + 5)/u³)u' = -1/x
Получили уравнение с разделяющимися переменными
(1/u + 5/u³)du = -dx/x
Интегрируем обе части уравнения
ln(u) - 5/(2u²) = -ln(x) + ln(C)
Произведем обратную замену
ln(y/x) - 5/(2(y/x)²) = -ln(x) + ln(C)
ln(y) - ln(x) - 5x²/(2y²) = -ln(x) + ln(C)
ln(y/C) - 5x²/(2y²) = 0
Получили решение дифференциального уравнения в неявном виде.
Ответ:ln(y/C) - 5x²/(2y²) = 0