Преобразуйте в произведение тригонометрическое вырожение: 1)корень из 3/2+cosa;...

Будем использовать формулу суммы косинусов:
$cos(x)+cos(y) = 2cos( \frac{1}{2} (x+y))cos( \frac{1}{2} (x-y))$
и формулу разности косинусов:
$cos(x)-cos(y) = -2sin( \frac{1}{2} (x+y))sin( \frac{1}{2} (x-y))$

$1. \:\:\: \frac{ \sqrt{3} }{2} +cos \alpha = cos \frac{ \pi }{6} +cos \alpha = 2 cos( \frac{ \pi }{12} + \frac{ \alpha }{2} )cos( \frac{ \pi }{12} - \frac{ \alpha }{2} ) \\ \\ 2. \:\:\: \frac{1 }{2} -cos \alpha = cos \frac{ \pi }{3} - cos \alpha = -2 sin( \frac{ \pi }{6} + \frac{ \alpha }{2} )sin( \frac{ \pi }{6} - \frac{ \alpha }{2} )$

$3. \:\:\: 2cosx - \sqrt{2} = 2(cosx - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \\ \\ = 2(cosx - cos \frac{ \pi}{4} ) = -4 sin( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{8} ) sin( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{8} ) \\ \\ 4. \:\:\: \sqrt{3} + 2cos2x = 2( \frac{\sqrt{3}}{2} + cos2x) = \\ \\ = 2(cos \frac{ \pi}{6} + cos2x) = 4 cos( \frac{ \pi }{12}+x)cos( \frac{ \pi }{12}-x)$