В треугольнике ABC вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Другая окружность...

Question

В треугольнике ABC вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Другая окружность касается продолжений сторон АС, ВС и касается стороны АВ в точке L. Докажите, что AL=BK.

Answer 1

Вторая окружность называется вневписанной. У каждого треугольника есть одна вписанная и три вневписанных окружности.
Понадобится еще несколько точек. 
M - точка касания AC с вписанной окружностью.
N - точка касания BC с вписанной окружностью.
D - точка касания AC с вневписанной окружностью. 
E - точка касания BC с вневписанной окружностью.
L - точка касания AB с вписанной окружностью.
Само доказательство совсем простое и короткое.
MD = MA + AL = AK + AL = 2*AL + KL;
NE = NB + BL = BK + BL = 2*BK + KL; 
очевидно, что MD = NE; (ну, CD = MD + CM; CE = NE + CN; и CD = CE; CM = CN;)
откуда сразу следует AL = BK; чтд.

Comments

Меня когда то очень удивило, как много связей у общих касательных, и как просто это находится. К примеру, AB = MD = NE; :) там по ходу решения это видно тоже.

---

А можно рисунок, по которому вы решали? А то с моим что-то не сходится

---

Рисунок можно, почему не сделать. Я попрошу модератора, чтобы открыл мне возможность исправить - и добавлю. Но вообще-то я всегда пишу так, чтобы рисунок можно было составить самому. Надо же и вам разобраться. А если вы нарисуете - все сразу поймете.

---

и, кстати точка L - это точка касания с вневписанной окружностью, У меня там опечатка :( поправлю тоже

---

ну впрочем она в условии задана

---

Да, я уже разобрался, спасибо

---

ну я все равно поправлю - это полезная задачка, хоть и простенькая.